2018年高考数学展望试题2(江苏省含谜底)

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2018年高考数学展望试题2(江苏省含谜底)

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文 章来历
莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 2018年江苏高考展望试题(二)
(对应学生用书第133页)
(限时:120分钟)
参考公式
样本数据x1,x2,…,xn的方差s2=1nni=1 (xi-x)2,此中x=1nni=1xi.
棱柱的体积V=Sh,此中S是棱柱的底面积,h是高.
棱锥的体积V=13Sh,此中S是棱锥的底面积,h是高.
数学Ⅰ试题
1、填空题(本大题共14小题,每一小题5分,共70分.请把谜底填写在题中横线上)
1.已知荟萃A={x|x2-x-2≤0},荟萃B={x|1<x≤3},则A∪B=________.
{x|-1≤x≤3} [由x2-x-2≤0,解患上-1≤x≤2.
∴A={x|-1≤x≤2},又荟萃B={x|1<x≤3},
∴A∪B={x|-1≤x≤3}.]
2.设复数z知足(z+i)i=-3+4i(i为虚数单元),则z的模为________.
25 [z=-3+4ii-i=3i+4-i=4+2i,则|z|=|4+2i|=42+22=25.]
3.表中是一个容量为10的样本数据分组后的频次漫衍,若行使组中值近似计较本组数据的均匀数x,则x的值为________.
数据 [12.5,15.5) [15.5,18.5) [18.5,21.5) [21.5,24.5]
频数 2 1 3 4
19.7 [按照题意,样本容量为10,行使组中值近似计较本组数据的均匀数x,
则x=110×(14×2+17×1+20×3+23×4)=19.7.]
4.若双曲线x2+my2=1过点(-2,2),则该双曲线的虚轴长为________.
【导学号:56394121】
4 [∵双曲线x2+my2=1过点(-2,2),
∴2+4m=1,即4m=-1,m=-14,
则双曲线的尺度方程为x2-y24=1,则b=2,即双曲线的虚轴长2b=4.]
5.按照以下所示的伪代码,可知输入的成果S是________.
 
17 [执路程序,有i=1;
知足前提i<6,i=3,S=9;
知足前提i<6,i=5,S=13;
知足前提i<6,i=7,S=17,
不知足前提i<6,输入S的值为17.]
6.在三张奖券中有1、二等奖各一张,另外一张无奖,甲乙两人各抽取一张(不放回),两人都中奖的几率为________.
13 [设1、二等奖各用A,B暗示,另1张无奖用C暗示,甲、乙两人各抽取1张的根基事情有AB,AC,BA,BC,CA,CB共6个,此中两人都中奖的有AB,BA,共2个,故所求的几率P=26=13.]
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图像如图1所示,则该函数的剖析式是________.
 
图1
y=2sin27x+π6 [由图知A=2,y=2sin(ωx+φ),
∵点(0,1)在函数的图像上,∴2sin φ=1,解患上sin φ=12,
∴行使五点作图法可患上φ=π6.
∵点-7π12,0在函数的图像上,∴2sin-7π12ω+π6=0,∴-7π12ω+π6=kπ,k∈Z,
解患上ω=27-12k7,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω=27,
∴y=2sin27x+π6.]
8.如图2,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点.若AA1=4,AB=2,则四棱锥B-ACC1D的体积为________.
 
图2
23 [取AC的中点O,连贯BO,则BO⊥AC,
∴BO⊥立体ACC1D,
 
∵AB=2,∴BO=3,
∵D为棱AA1的中点,AA1=4,
∴SACC1D=12(2+4)×2=6,
∴四棱锥B-ACC1D的体积为23.]
9.已知实数x,y知足x+2y-4≤0,x-y-1≤0,x≥1,则y+1x的取值范畴是________.
 
1,52 [作出不等式组对应的立体区域,y+1x的几何意思是区域内的点到定点D(0,-1)的斜率,
由图像知,AD的斜率最大,
BD的斜率最小,此时最小值为1,
由x=1,x+2y-4=0,患上x=1,y=32,即A1,32,
此时AD的斜率k=32+11=52,
即1≤y+1x≤52,故y+1x的取值范畴是1,52.]
10.已知{an},{bn}均为等比数列,其前n项以及别离为Sn,Tn,若对肆意的n∈N*,总有SnTn=3n+14,则a3b3=________.
9 [设{an},{bn}的公比别离为q,q′,
∵SnTn=3n+14,∴n=1时,a1=b1.
n=2时,a1+a1qb1+b1q′=52.
n=3时,a1+a1q+a1q2b1+b1q′+b1q′2=7.
∴2q-5q′=3,7q′2+7q′-q2-q+6=0,解患上q=9,q′=3,
∴a3b3=a1q2b1q′2=9.]
11.已知平行四边形ABCD中,∠BAD=120°,AB=1,AD=2,点P是线段BC上的一个动点,则AP→•DP→的取值范畴是________.
-14,2 [以B为坐标原点,以BC所在的直线为x轴,成立如图所示的直角坐标系,作AE⊥BC,垂足为E,
 
∵∠BAD=120°,AB=1,AD=2,∴∠ABC=60°,
∴AE=32,BE=12,∴A12,32,D52,32.
∵点P是线段BC上的一个动点,设点P(x,0),0≤x≤2,∴AP→=x-12,-32,DP→=x-52,-32,
∴AP→•DP→=x-12x-52+34=x-322-14,
∴当x=32时,有最小值,最小值为-14.
当x=0时,有最大值,最大值为2,
则AP→•DP→的取值范畴为-14,2.]
12.如图3,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上有一个点A,它对于原点的对称点为B,点F为椭圆的右核心,且知足AF⊥BF,当∠ABF=π12时,椭圆的离心率为________.
 
图3
63 [设椭圆的左核心为F1,连贯AF1,BF1,由对称性及AF⊥BF可知,四边形AFBF1是矩形,以是
 
|AB|=|F1F|=2c,以是在Rt△ABF中,|AF|=2csinπ12,|BF|=2ccosπ12,由椭圆界说患上
2ccosπ12+sinπ12=2a,即
e=ca=1cosπ12+sinπ12=12sinπ4+π12=63.]
13.已知△ABC三个内角A,B,C的对应边别离为a,b,c,且C=π3,c=2.当AC→•AB→取患上最大值时,ba的值为________.
【导学号:56394122】
2+3 [∵C=π3,∴B=2π3-A,
由正弦定理患上bsin B=csin C=232=43,
∴b=43sin2π3-A=2cos A+23sin A,
∴AC→•AB→=bccos A=2bcos A=4cos2A+23sin 2A
=2+2cos 2A+23sin 2A
=4312sin 2A+32cos 2A+2
=43sin2A+π3+2,
∵A+B=2π3,∴0<A<2π3,
∴当2A+π3=π2即A=π12时,AC→•AB→取患上最大值,
此时,B=2π3-π12=7π12,
∴sin A=sinπ12=sinπ3-π4=32×22-12×22=6-24,
sin B=sinπ3+π4=32×22+12×22=6+24.
∴ba=sin Bsin A=6+26-2=2+3.]
14.关于实数a,b,界说运算“ ”:a b=a2-ab,a≤b,b2-ab,a>b.设f (x)=(x-4) 74x-4,若对于x的方程|f (x)-m|=1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,则实数m的取值范畴是________.
(-1,1)∪(2,4) [由题意患上,f (x)=(x-4) 74x-4
=-34x2+3x,x≥0,2116x2-3x,x<0,
画出函数f (x)的大抵图像如图所示.
 
由于对于x的方程|f (x)-m|=1(m∈R),即f (x)=m±1(m∈R)恰有四个互不相等的实数根,以是两直线y=m±1(m∈R)与曲线y=f (x)共有四个差别的交点,则m+1>3,0<m-1<3或者0<m+1<3,m-1<0或者m+1=3,m-1=0,患上2<m<4或者-1<m<1.]
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字阐明、证实进程或者演算步骤.)
15.(本小题满分14分)如图4,在立体直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角α,其终边与单元圆交于点A.以OA为始边作锐角β,其终边与单元圆交于点B,AB=255.
 
图4
(1)求cos β的值;
(2)若点A的横坐标为513,求点B的坐标.
[解] (1)在△AOB中,由余弦定理患上:AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB,
以是,cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA•OB=12+12-25522×1×1=35,即cos β=35. 
 6分
(2)由于cos β=35,β∈0,π2,∴sin β=1-cos2β=1-352=45.
由于点A的横坐标为513,由三角函数界说可患上,cos α=513,
由于α为锐角,以是sin α=1-cos2α=1-5132=1213.
以是cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=513×35-1213×45=-3365,
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=1213×35+513×45=5665,即点B-3365,5665.
 14分
16.(本小题满分14分)在立体四边形ABCD(图5①)中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有大众斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°,将△ABC沿AB折起,组成如图5②所示的三棱锥C′-ABD.
 
①         ②
图5
(1)当C′D=2时,求证:立体C′AB⊥立体DAB;
(2)当AC′⊥BD时,求三棱锥C′-ABD的高.
[解]  (1)证实:当C′D=2时,取AB的中点O,连贯C′O,DO,
在Rt△ABC′,Rt△ADB中,AB=2,则C′O=DO=1,
 
∵C′D=2,∴C′O2+DO2=C′D2,即C′O⊥OD,
由∠BAC=45°患上△ABC′为等腰直角三角形,
∴C′O⊥AB,又AB∩OD=O,AB,OD⊂立体ABD,
∴C′O⊥立体ABD,∵C′O⊂立体ABC′,
∴立体C′AB⊥立体DAB. 6分
(2)由已知可求患上AD=3,AC′=BC′=2,BD=1,
当AC′⊥BD时,由已知AC′⊥BC′,患上AC′⊥立体BDC′,
∵C′D⊂立体BDC′,∴AC′⊥C′D,
由勾股定理,患上C′D=AD2-AC′2=3-2=1,
而△BDC′中,BD=1,BC′=2,
∴C′D2+BD2=BC′2,∴C′D⊥BD.
∴S△BDC′=12×1×1=12.
三棱锥C′-ABD的体积V=13•S△BDC′•AC′=13×12×2=26.
S△ABD=12×1×3=32,
设三棱锥C′-ABD的高为h,则由13×32×h=26,解患上h=63. 
 14分
17.(本小题满分14分)如图6,半圆AOB是某爱国主义教诲基地一景点的立体示用意7,半径OA的长为1百米.为了护卫景点,基地经管部门从路途l上拔取一点C,构筑观光路线C-D-E-F,且CD,DE,EF均与半圆相切,四边形CDEF是等腰梯形,设DE=t百米,记构筑每一1百米观光路线的用度为f (t)万元,经测算f (t)=5,0<t≤13,8-1t,13<t<2.
 
图6        图7
(1)用t暗示线段EF的长;
(2)求构筑观光路线的最低用度.
[解] (1)设DQ与半圆相切于点Q,则由四边形CDEF是等腰梯形知,OQ⊥DE,
以CF所在直线为x轴,OQ所在直线为y轴,
成立立体直角坐标系xOy.
设EF与圆切于G点,连贯OG,过点E作EH⊥OF,垂足为H.
 
∵EH=OG,∠OFG=∠EFH,∠GOF=∠HEF,
∴Rt△EHF≌Rt△OGF,∴HF=FG=EF-12t.
∴EF2=1+HF2=1+EF-12t2,
解患上EF=t4+1t(0<t<2). 6分
(2)设构筑该观光路线的用度为y万元.
①当0<t≤13,由y=52t4+1t+t=
532t+2t.y′=532-2t2<0,
可患上y在0,13上单调递加,
∴t=13时,y取患上最小值为32.5.
②当13<t<2时,y=8-1t2t4+1t+t=12t+16t-32-2t2.
y′=12-16t2+4t3=4t-13t2+3t-1t3.
∵13<t<2,∴3t2+3t-1>0.
∴t∈13,1时,y′<0,函数y此时单调递加;t∈(1,2)时,y′>0,函数y此时单调递增.
∴t=1时,函数y取患上最小值24.5.
由①②知,t=1时,函数y取患上最小值为24.5.
即构筑该观光路线的最低用度为24.5万元. 14分
18.(本小题满分16分)在立体直角坐标系xOy中,设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是e,界说直线y=±be为椭圆的“类准线”,已知椭圆C的“类准线”方程为y=±23,长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上),过点P作圆O:x2+y2=3的切线l,过点O且垂直于OP的直线与l交于点A,问点A是不是在椭圆C上?证实你的论断.
【导学号:56394123】
[解] (1)由题意知abc=23,a=2,又a2=b2+c2,解患上b=3,c=1,
以是椭圆C的方程为x24+y23=1. 4分
(2)点A在椭圆C上.证实以下:
设切点为Q(x0,y0),x0≠0,则x20+y20=3,切线l的方程为x0x+y0y-3=0,
当yP=23时,xP=3-23y0x0,
即P3-23y0x0,23,
即kOP=233-23y0x0=2x03-2y0,
以是kOA=2y0-32x0,直线OA的方程为y=2y0-32x0x.
联立y=2y0-32x0x,x0x+y0y-3=0,解患上x=6x06-3y0,y=32y0-36-3y0,
即A6x06-3y0,32y0-36-3y0. 10分
由于6x06-3y024+32y0-36-3y023
=93-y20+34y20-43y0+33y20-123y0+36
=3y20-123y0+363y20-123y0+36=1,
以是点A的坐标知足椭圆C的方程.
当yP=-23时,同理可患上点A的坐标知足椭圆C的方程,以是点A在椭圆C上. 16分
19.(本小题满分16分)已知数列{an}知足2an+1=an+an+2+k(n∈N*,k∈R),且a1=2,a3+a5=-4.
(1)若k=0,求数列{an}的前n项以及Sn;
(2)若a4=-1,求数列{an}的通项公式an.
[解] (1)当k=0时,2an+1=an+an+2,即an+2-an+1=an+1-an,
以是数列{an}是等差数列.
设数列{an}的公役为d,
则a1=2,2a1+6d=-4,解患上a1=2,d=-43,
以是Sn=na1+nn-12d=2n+nn-12×-43
=-23n2+83n. 6分
(2)由题意,2a4=a3+a5+k,即-2=-4+k,以是k=2.
又a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6,以是a2=3.
由2an+1=an+an+2+2,
患上(an+2-an+1)-(an+1-an)=-2,
以是,数列{an+1-an}因此a2-a1=1为首项,-2为公役的等差数列,
以是an+1-an=-2n+3,
当n≥2时,有an-an-1=-2(n-1)+3.
因而,an-1-an-2=-2(n-2)+3,
an-2-an-3=-2(n-3)+3,

a3-a2=-2×2+3,
a2-a1=-2×1+3,
叠加患上,an-a1=-2(1+2+…+(n-1))+3(n-1)(n≥2),
以是an=-2×nn-12+3(n-1)+2=-n2+4n-1(n≥2).
又当n=1时,a1=2也适宜.
以是数列{an}的通项公式为an=-n2+4n-1,n∈N*.
 16分
20.(本小题满分16分)已知函数f (x)=ex13x3-2x2+a+4x-2a-4,此中a∈R,e为自然对数的底数.
(1)对于x的不等式f (x)<-43ex在(-∞,2)上恒建立,求a的取值范畴;
(2)接头函数f (x)极值点的个数.
[解] (1)由f (x)<-43ex,
患上ex13x3-2x2+a+4x-2a-4<-43ex,
即x3-6x2+(3a+12)x-6a-8<0对肆意x∈(-∞,2)恒建立,
即(6-3x)a>x3-6x2+12x-8对肆意x∈(-∞,2)恒建立,
由于x<2,以是a>x3-6x2+12x-8-3x-2=-13(x-2)2,
记g(x)=-13(x-2)2,由于g(x)在(-∞,2)上单调递增,且g(2)=0,
以是a≥0,即a的取值范畴为[0,+∞).6分
(2)由题意,可患上f ′(x)=ex13x3-x2+ax-a,可知f (x)只有一个极值点或者有三个极值点.
令g(x)=13x3-x2+ax-a,
①若f (x)有且仅有一个极值点,则函数g(x)的图像必穿过x轴且只穿过一次,
即g(x)为单调递增函数或者者g(x)极值同号.10分
(ⅰ)当g(x)为单调递增函数时,g′(x)=x2-2x+a≥0在R上恒建立,患上a≥1.
(ⅱ)当g(x)极值同号时,设x1,x2为极值点,则g(x1)•g(x2)≥0,
由g′(x)=x2-2x+a=0有解,患上a<1,且x21-2x1+a=0,x22-2x2+a=0,
以是x1+x2=2,x1x2=a,
以是g(x1)=13x31-x21+ax1-a=13x1(2x1-a)-x21+ax1-a=-13(2x1-a)-13ax1+ax1-a=23[(a-1)x1-a],
同理,g(x2)=23[(a-1)x2-a],
以是g(x1)g(x2)=23[(a-1)x1-a]•23[(a-1)x2-a]≥0,
化简患上(a-1)2x1x2-a(a-1)(x1+x2)+a2≥0,
以是(a-1)2a-2a(a-1)+a2≥0,即a≥0,
以是0≤a<1.
以是,当a≥0时,f (x)有且仅有一个极值点;
②若f (x)有三个极值点,则函数g(x)的图像必穿过x轴且穿过三次,同理可患上a<0.
综上,当a≥0时,f (x)有且仅有一个极值点,
当a<0时,f (x)有三个极值点.16分
数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题](本题包含A、B、C、D四小题,请选定此中两小题,并在响应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字阐明、证实进程或者演算步骤)
 
图8
A.[选修4-1:几何证实选讲]
(本小题满分10分)如图8,AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB的缩短线于点C.若DA=DC,求证:AB=2BC.
[证实] 连贯OD,BD.
由于AB是圆O的直径,以是∠ADB=90°,AB=2OB.
 
由于DC是圆O的切线,以是∠CDO=90°.
又由于DA=DC,以是∠A=∠C,
因而△ADB≌△CDO,从而AB=CO,
即2OB=OB+BC,患上OB=BC.
故AB=2BC. 10分
B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=11,而且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成(-2,4).
(1)求矩阵M;
(2)求矩阵M的另外一个特征值.
[解] (1)设矩阵A=a bc d,这里a,b,c,d∈R,
则a bc d11=811=88,故a+b=8,c+d=8,
因为矩阵M对应的变换将点(-1,2)换成(-2,4).
则a bc d-1 2=-24,故-a+2b=-2,-c+2d=4,
联立以上两方程组解患上a=6,b=2,c=4,d=4,故M=6 24 4.
(2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为f (λ)=(λ-6)(λ-4)-8=λ2-10λ+16,故矩阵M的另外一个特征值为2.
 10分
C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在立体直角坐标系xOy中,曲线C:x=6cos α,y=2sin α(α为参数),以原点O为顶点,x轴正半轴为极轴,成立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cos θ+3sin θ)+4=0,求曲线C上的点到直线l的最大间隔.
[解] 将l转化为直角坐标方程为x+3y+4=0.
在C上任取一点A(6cos α,2sin α) ,α∈[0,2π),则点A到直线l的间隔为d=6cos α+6sin α+42=23sinα+π4+42=23sinα+π4+42.
当α=π4时,d取患上最大值,最大值为2+3.10分
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a,b长短负实数,求证:a3+b3≥ab(a2+b2).
[证实] 由a,b长短负实数,作差患上
a3+b3-ab(a2+b2)=a2a(a-b)+b2b(b-a)
  =(a-b)[(a)5-(b)5].
当a≥b时,a≥b,从而(a)5≥(b)5,患上
(a-b)[(a)5-(b)5]≥0;
当a<b时,a<b,从而(a)5<(b)5,患上
(a-b)[(a)5-(b)5]>0.
以是a3+b3≥ab(a2+b2). 10分
[必做题](第22题、第23题,每一题10分,共20分,解答时应写出文字阐明、证实进程或者演算步骤)
22.(本小题满分10分)如图9,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是边长为2的等边三角形,PC=13,M在PC上,且PA∥立体BDM.
 
图9
(1)求直线PC与立体BDM所成角的正弦值;
(2)求立体BDM与立体PAD所成锐二面角的巨细.
[解] ∵立体PAD⊥立体ABCD,△PAD为正三角形,作AD边上的高PO,
∵立体PAD∩立体ABCD=AD,由面面垂直的性子定理,患上PO⊥立体ABCD,
又ABCD是矩形,同理可患上CD⊥立体PAD,知CD⊥PD,
∵PC=13,PD=2,∴CD=3.
以AD中点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,AD的垂直等分线为y轴,成立如图所示的坐标系,
则P(0,0,3),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),
D(-1,0,0),PC→=(-1,3,-3),
 
连贯AC交BD于点N,由PA∥立体MBD,立体APC∩立体MBD=MN,
∴MN∥PA,又N是AC的中点,
∴M是PC的中点,则M-12,32,32,5分
设立体BDM的法向量为n=(x,y,z),
BD→=(-2,-3,0),DM→=12,32,32,
则-2x-3y=0x2+3y2+32z=0,令x=1,
解患上y=-23,z=13,
患上n=1,-23,33.
(1)设PC与立体BDM所成的角为θ,则sin θ=PC→•n|PC→|•|n|=31313,
∴直线PC与立体BDM所成角的正弦值为31313.
(2)立体PAD的法向量为向量CD→=(0,-3,0),设立体
BDM与立体PAD所成的锐二面角为φ,则cos φ=CD→•n|CD→|•|n|=12,
故立体BDM与立体PAD所成锐二面角的巨细为π3.10分
23.(本小题满分10分)已知Fn(x)=nk=0[(-1)kCknf k(x)](n∈N*).
(1)若f k(x)=xk,求F2 015(2)的值;
(2)若f k(x)=xx+k(x∉{0,-1,…,-n}),求证:Fn(x)=n!x+1x+2…x+n.
【导学号:56394124】
[解] (1)Fn(x)=nk=0[(-1)kCknf k(x)]=nk=0[(-x)kCkn]
=(1-x)n,∴F2 015(2)=-1. 2分
(2)证实:①n=1时,左侧=1-xx+1=1x+1=右侧.
②假如n=m时,对所有实数x(x≠0,-1,…,-m),
有mk=0 (-1)kCkmxx+k=m!x+1x+2…x+m,
那末,当n=m+1时,对所有实数x(x≠0,-1,…,-(m+1)),有
m+1k=0 (-1)kCkm+1xx+k=1+mk=1 (-1)k[Ckm+Ck-1m]xx+k+(-1)m+1xx+m+1
=mk=0 (-1)kCkmxx+k+m+1k=1 (-1)kCk-1mxx+k=mk=0 (-1)kCkm•xx+k-mk=0 -1kCkmx+1x+1+k•xx+1
=m!x+1x+2…x+m
-m!x+2x+3…x+1+m•xx+1
=m![x+m+1-x]x+1x+2…x+mx+m+1
=m+1!x+1x+2…x+m+1.
即n=m+1时,等式建立.
故对所有正整数n及所有实数x(x≠0,-1,…,-n),有nk=0 (-1)kCknxx+k=n!x+1x+2…x+n. 10分  文 章来历
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